Отдохнувший — это прошедшее время от глагола отдохнуть с суффиксом —ший и приставкой от-.
Итак, в этом слове можно выделить две морфемы:
От- — приставка, которая образует значение «действия, продолжительности действия и т.п. отрицательного». В данном случае она противопоставляет бездействию текущему действию.
До- — корень слова дохнуть, противопоставляющий отдыху основное значение глагола.
-ШИЙ — суффикс, образующий причастия от глаголов. В данном случае он образует причастие прошедшего времени от глагола отдохнуть.
С учетом полученных морфем, отдохнувший можно определить как причастие прошедшего времени от глагола отдохнуть, имеющее отрицательно-видовую приставку.
Таким образом, слово отдохнувший относится к глагольной части речи. Оно имеет прошедшее время и выражает действие, которое уже завершено в прошлом.